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le nombre des facteurs de l'espèce L qui figurent dans son expression en 

 produit de substitutions fondamentales sera pair ou impair. 



» Nous avons établi autrefois par des considérations assez détournées 

 que les substitutions paires contenues dans l'un G des groupes hypoabé- 

 liens forment un sous-groupe invariant. M. Dickson est arrivé au même 

 résultat par une voie beaucoup plus directe et a assigné un caractère très 

 simple permettant de discerner a ^n'orj si une substitution donnée est paire 

 ou impaire (Linear Groups, n° 205). 



» Il faut toutefois, pour appliquer ce critérium, commencer par rame- 

 ner <I> à son tvpe canonique; cette opération peut présenter quelque diffi- 

 culté, surtout si, comme il arrive souvent, elle est donnée sous une forme 

 où fis;urent (en apparence) des imaginaires de Galois. Mais on peut s'en 

 dispenser, en donnant au critérium une forme nouvelle, complètement 

 indépendante de l'expression de $. 



» En effet, une substitution S étant donnée, nous avons montré 

 (Comptes rendus, t. CXXXVIII, p. 53;) qu'il suffisait de la réduire à la 

 forme canonique pour reconnaître s'il existe ou non des formes quadra- 

 tiques <ï>mod2 qu'elle laisse invariantes. Dans le cas de l'affirmative, on 

 aura le théorème suivant : 



» Théorème. — La substitution S sera paire ou impaire, suivant que. clans 

 son expression canonique, le nombre des séries formées par les variables sera 

 pair ou impair. 



» Tout se réduira donc à la discussion du déterminant caractéristique 

 de S et du système de ses mineurs. 



» Nous allons indiquer en quelques mots la marche de la démonstra- 

 tion : 



» 1° Si <I> est une somme de fonctions partielles $,, 'î'o. • • ' contenant 

 des variables différentes, soient G, le groupe des substitutions qui, opérées 

 sur les variables de $,, la laissent invariante; G celui des substitutions qui 

 laissent <ï> invariante. Toute substitution de G, appartiendra évidemment 

 à G et aura dans ce nouveau groupe la même parité que dans le groupe G,; 



» 2° Toute substitution hypoabélienne d'ordre impair est paire; 



» 3° Le théorème sera vrai pour une substitution hypoabélienne quel- 

 conque, s'il l'est pour les substitutions abéliennes dont l'ordre est une 

 puissance de 3, 



» On peut d'ailleurs le supposer établi pour les substitutions oij le 

 nombre des variables est moindre, ou le nombre des séries plus grand que 

 dans la substitution que l'on considère. 



