SÉANCE DU 2 1 MARS igo^. 727 



» Les lemmes précédents permettent de ramener le cas général aux cas 

 particuliers suivants : 



» 1° La substitution S est de la forme 



S: 





el la forme $ est bilinéaire par rapport aux x et aux y. Dans ce cas, S sera 

 un produit de substitutions M,vi; elle sera donc paire et le tliéorème sera 

 démontré. 



» 2° S ayant encore la forme précédente, et m étant un nombre pair in, 

 $ peut être ramenée (par une transformation qui n'altère pas S) à la 

 forme 



^o('a7o +72« + ^2«-, + C^,-r^t.«-i. + --- + ^«) + ^, 



où W ne contient plus les variables Xf,,y.,„. 



>' La substitution T qui remplace x,, par x^-\- y.^„-\- x.,„_^ -^ . .. -\- x,, 

 laisse <î> invariable et elle est impaire. EL pour démontrer que S est paire, 

 comme le veut le théorëtne, il suffira d'établir que ST est impaire. 



» Or, soit n == l' q (q impair). Le déterminant caractéristique de ST est, 

 comme on le voit aisément, égal à 



[pv 4- (i - p)"'J'\i - p)'"-' (mod 2). 



» Il a 2(/ + I racines distinctes; d'ailleurs, ses mineurs n'ont pas de 

 diviseur commun; donc, dans la forme canonique de ST, les variables 

 forment 2q + i séries; donc ST est impaire, le théorème étant supposé vrai 

 si le nombre des séries surpasse j.. 



» 3° La substitution S a la forme 



o — I '2?(|i ■ï't . • • • ) X.,a—i •^8' ''^i ~^ "^'o" • • •> •^■in-t ~l~ -^sn-s | 



et 4> peut être ramenée à la forme 



x^{x„ + x.,„_, + C,'_,x,„_,+...-+-.z-„) + W, 



W ne contenant plus les variables j;^, Xi„_y. 

 » La substitution T, qui remplace x„ par 



sera hyperabélienne impaire et, pour établir que S est impaire comme le 

 veut^le théorème, nous aurons à montrer que ST est paire. 



