SÉANCE DU 21 MARS 1904. 74'> 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les formes décomposahles en facteurs 

 linéaires. Note de M. F. Hocevar, présentée par M. Jordan. 



« Je me propose d'expliquer dans la présente Note une résolution gé- 

 nérale des deux problèmes suivants : 



» a. Tromper une condition nécessaire et suffisante pour qu'une forme quel- 

 conque soit développable en fadeurs linéaires. 



» b. Calculer ces facteurs si la condition est réalisée. 



)) l. On peut évidemment supposer que la forme donnée F(j;,, ...,x„) 

 de degré m ait été débarrassée de ses facteurs multiples, et contienne un 

 terme en x'" . 



» 2. Supposons que la forme / soit divisible par un facteur linéaire. 

 Alors on démontre facilement que chaque mineur du troisième degré de 

 son hessien est divisible par le même facteur. On a donc le théorème : 



» Si la forme f est décomposable en facteurs linéaires, chaque mineur au 

 troisième degré du hessien H(/) est divisible par f. 



» Cette condition est suffisante. 



» 3. Soient, en effet, a.^, • ■ -, cin f'ss nombres constants arbitraires, assu- 

 jettis à la seule condition que les racines a',", . . ., a"'" de l'équation 



f{.^c^, «o, ..., a„) = o 



soient inégales. On aura pour les jd racines de l'équation /= o des déve- 

 loppements de la forme 



0., = «<>■'+ (^,-«0(j:^l+--- + (^n-««)(j^. 



2 ^ - " \ t'-l'i /) 



(■X = i, 2, .. ., m). 



» Les expressions (-r^) > (7- ^ ). ' ■"• >'eprésentent les valeurs de ces 

 dérivées correspondantes aux valeurs spéciales 



(2) .r, = a', , x., = ao, .... .r„=rt„, 



» Or il est évident que la forme y est décomposable en facteurs linéaires 

 si, dans les séries (i), tous les termes d'un ordre supérieur au premier 



