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ACADEMIE DES SCIENCES. 



Tableau III. — Distribution des facules en latitude. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe de transcendantes multiformes. 

 Note de M. Pierre Boutroux, présenlée par M. P. Painlcvc. 



« Dans une Note présentée le 8 février 1904 à l'Académie des Sciences, 

 M. Remoundos a fait savoir qu'il avaitétiidié certaines transcendantes mul- 

 tiformes représentées par une relation entière entre deux variables x et j. 

 J'ai eu également occasion d'aborder l'étude de transcendantes à une 

 infinité de branches, alors que je cherchais à former des équations diffé- 

 rentielles simples auxqtxelles elles pussent satisfaire. Je me propose d'indi- 

 quer quelques-uns des réstdtats que j'ai obtenus à leur sujet. 



)> 1. Considérons une fonction u{x) n'ayant, en dehors d'un nombre 

 fini de points, d'autres singtilarités que des pôles ou des points critiques 

 algébriques E,, Hj, . . ., E„, ... et supposons que l'ensemble dérivé de l'en- 

 semble (') ^ des il ne contienne que des points discrets. Soient m, (a-), 

 u„{x), ... les diverses valeurs prises par u pour une valeur, quelconque 

 de X et soit U,(.'r) un point quelconque de l'ensemble dérivé de l'en- 

 semble u{x). Je démontre qu'en tout point qui n'est pas point-lirnite 

 de points E,, toute branche U,(a;) est une fonction analytique et holomorphe 

 de X. La dérivée (-) U' fi?e U est engendrée par l'ensemble dérivé de l'ensemble 

 formé par les déterminations «', ,u.,, ... de la dérivée u' de u. 



(') Il résulte d'un théorème de M. Poincaré {Rendic. del Cire. mal. di Palermo, 

 1888) que les ensembles ; et u sont toujours dénorabrables. L'ensemble dérivé de l'en- 

 semble ? contient des points singuliers transcendants de la fonction u\ mais il peut 

 contenir aussi d'autres points, qu'il sera en général très difficile de déterminer. 



(-) Il résulte de cette proposition que si la fonction (/ satisfait à une équation diffé- 

 rentielle a' = c7(.r, (/), la fonction U satisfait à la même équation. 



