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» Conslruisons de la manière siùvantc une étoile 51 appartenant aux 

 constantes Zp, k^, k.^, ... qui définisseat la branche fonctionnelle 



FC {x) =k^ + k, X + h., X- -h 



» On sort (l'un entourage C, du point x = o, tel que la branche fonc- 

 tionnelle FC,(a7) obtenue par le prolongement analytique de FC(a;) dans 

 l'intérieur de C, n'ait qu'un nombre dénombrable de singularités et reste 

 d'ailleurs déterminée et uniforme. On fixe un certain vecteur /issu de l'ori- 

 gine. On regarde dans la suite un entourage C, d'un point de / appartenant 

 à C, où la continuation de la branche FC,(,r), soit FC2(ir), se comporte 

 quant à Co de la même manière que FC,(a') quant à C,. Ce domaine C, 

 pourra sortir de C,. Dans ce cas, on fixe C^ d'une telle manière que cette 

 circonstance arrive, on prend un point à l'intérieur de C, situé sur / et 

 extérieur à C,, et l'on appelle C3 un entourage de ce point muni des 

 mêmes propriétés que C, et C2 auparavant, et ainsi de suite. 



» On peut avancer de cette manière le long du vecteur / sans être jamais 

 arrêté à distance finie de l'origine. Dans ce cas tout le vecteur /est compté 

 appartenir à l'étoile %. 



» Mais il se peut aussi bien qu'on trouvera le vecteur / limité à une dis- 

 tance /, qu'on ne pourra pas passer. Celle circonstance aura lieu si le point 

 extrême de /, , sans que la fonction F (a;) cesse d'être uniforme, f;ut partie 

 d'un ensemble parfait de singularités. Elle aura encore lieu si la fonction 

 cesse d'être uniforme dans l'entourage de ce point extrême. La partie /, 

 du vecteur sera comptée comme appartenant à l'étoile %. On obtient 

 l'étoile complète on procédantde la même manière pour tous les vecteurs /. 

 On voit que les points singuliers de Y ^{x) à l'intérieur de\3l forment un 

 ensemble dénombrable. 



» Entre autres théorèmes généraux, j'ai démontré dans mon Mémoire 

 de l'année 1884 le théorème suivant que j'exprimerai ici sous une forme 

 moderne : 



» La fonction Y %,{x) pourra toujours être exprimée par une série : 



¥^{x)=^V,{x) + Y%(x), 



v = l 



où ¥%(x') représente une branche fonctionnelle qui est régulière et uniforme 

 partout à l'inlciieur de %, tandis que la série 2^^ i{^) est uniformément 



