SÉANCE DU II AVRIL igo^i- 883 



conver^e.nle pour chaque domaine à l'intérieur de 5t qui n'embrasse aucun 

 point singulier {c est-à-dire à l'inlérieur on sur la frontière de laquelle ne se 

 trouve aucun point singulier) et que les fonctions Y.,{x) sont munies des 

 caractères suivants : 



» 1° La fonction Fv(.r) est une fonction uniforme de x qui est régulière 

 sauf aux deux points cr, et 6„ dont a„ est un point singulier à l'intérieur 

 de 51 et b^ est un pôle choisi d'une manière spéciale et situé à l'intérieur 

 ou sur la frontière de %. 



» 2° En désignant par D un continuum quelconque appartenant k % et 

 par a^^, les points singuliers a,, à l'intérieur de ce continuum, la différence 



Y3i(x) — 2 ^^o("^) ^^'"^ régulière partout à l'intérieur de D. 



» Pour former les fonctions F^(.r), il faut la connaissance de la manière 

 dont se comporte la fonction F%(x) aux environs de chaque point sin- 

 gulier à l'intérieur de %. En n'ayant pas cette connaissance et en ne 

 sachant de la branche fonctionnelle F%{x) autre chose qu'elle est définie 

 par la formule 



c'est-à-dire par les constantes /„, k,, k.,, ..., on pourra se demander si elle 

 peut être représentée à l'intérieur du domaine % par une seule et même 

 expression, où il n'entre de la Tonction que ces constantes. C'est en réalité 

 le cas et cette formule est même d'une très grande simplicité formelle. Elle 

 est une conséquence presque immédiate de mon théorème de i884 

 ensemble avec le théorème sur E(a;). Faisons 



O \tù X\ M 



c ( to ) -^J 



v = » 



et la formule sera 



F%(x) = iim \(k„ + k,x+...-h k,x')li,^, (o.), 



V=0 



oi^i l'égalité a lieu pour chaque point régulier de F5l(^). Le second nombre 

 est uniformément convergent pour chaque domaine à l'intérieur de l'étoile 

 principale A des constantes k„, k,,k.„ .... Elle est encore uniformément 

 convergente pour chaque partie d'un vecteur issu de l'origine et apparte- 

 nant au domaine^ qui n'embrasse aucun jioint singulier. On voit que je 

 n'ai fait absolument aucune supposition concernatit la nature de ¥(x). On 



