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u = const., V = const. soit un système conjugué persistant sur la surface 1 

 s'expriment par les deux équations 



(i) ii| = °' 1 2 !=<?(")= U' 



les crochets de Christoffel étant formés avec les coefficients de l'élément 

 linéaire dn' de la représentation sphérique relative à la surface 1. Or la 

 représentation sphérique de 2 est connue dès qu'on connaît celle de S, et 

 les coefficients de da' s'expriment aisément au moyen des coefficients e, g 

 et de leurs dérivées, l'élément , linéaire f/c; de la représentation sphérique 

 de la surface S étant défini par l'équation 



( 2 ) (-Iq- = edu- -h g dv"^ . 



» En substituant ces expressions dans les équations (i), la première est 

 satisfaite identiquement; en intégrant la seconde par rapport à u, on 

 obtient 



(3) -^^ = l]V, 



V / \/^ Ou 



ou bien, en réduisant, par un choix convenable de la variable c, la fonc- 

 tion V à l'unité, 



» Désignons par E, G les coefficients de l'élément linéaire ds de la sur- 

 face S; les formules bien connues de M. Darboux (Leçons sur la ihc'orie 

 générale des surfaces, t. II, p. 386) nous fournissent les deux équations 



» La première fait voir que la surface S appartient effectivement à la 

 classe considérée par M. Bianchi dans son Mémoire cité. En substituant 

 dans la seconde les valeurs de y/Ë et de \fë tirées de la première des équa- 

 tions (5) et de l'équation (4), on remarquera que s/G satisfait à l'équation 

 de Laplace à invariants égaux 



V ' du ai' i/o- du àv 



(') Si la fonction U se réduit à une constante, la surface 2 devient une surface de 

 Voss et la surface S correspondante appartient à la classe de surfaces signalées par 

 M. Guichard. Dans le cas général, on peut réduire U à telle fonction de u qu'on 

 voudra, par exemple à a. 



