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même, l'équation (8) nous fournit la valeur de Z; les deux autres cosinus 

 directeurs X et Y s'obtiennent par des quadratures. La recherche des sur- 

 faces S correspondant à la représentation sphérique obtenue revient à 

 l'intégration de l'équation (G) qui détermine le coefficient G de l'élément 

 linéaire; après avoir obtenu G on aura E par l'équation (5) et, en appli- 

 quant les formules d'Olinde Rodrigues, on obtiendra les coordonnées x,y,z 

 par des quadratures. 



» Soit 0, une solution particulière de l'équation (G) ; en prenant y/G = 9, , 

 déterminons la surface S, correspondante. Construisons la surface i, (lieu 

 des centres de courbure de la surface S,) et calculons la distance n de 

 l'origine au plan tangent de 2,. En divisant II par U, on obtient une solu- 

 tion nouvelle Oo de l'équation (6) et, par suite, en posant \/G = 6o, on 

 obtient une nouvelle surface S» de la classe considérée. En continuant de 

 la même manière, on parviendra à une suite infinie S,, S.,, S,, . . ., de sur- 

 faces; il est évident qu'on pourrait la prolonger aussi dans le sens inverse. 



» Prenons comme solution initiale 



» La détermination de toutes les surfaces S et 2 n'exige alors que des 

 quadratures. De même on verrait aisément que la détermination des sur- 

 faces applicables sur les surfaces 1 avec conservation du système conjugué 

 considéré, revient aux quadratures. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les groupes d'opérations. 

 Note de M. G. -A. Milleh, présentée par M. Jordan. 



« A. Soient p^,/)"'s .. ../^.(a.^ao^. . .5a„) les invariants d'un groupe 

 abélien (G) d'ordre p,„, p étant un nombre premier quelconque. Le nombre 

 des différents types de sous-groupes (' ) qui ont A > i invariants est donné 

 par la formule 



>, = a)i-i Y=a,-i p = o(.,-i 



(') BuRNSiDE, T/ieory of groiips of fini le order, 1897, p. 58. A moins que le con- 

 traire ne soit exprimé, l'identité n'est pas comprise dans le terme sous-groupe. Toute- 

 fois, G est regardé comme sous-groupe de lui-même. 



