SÉANCE DU II AVRIL 1904, 889 



» Il est clair que le nombre des types des sous-groupes circulaires est a, . 

 Pour déterminer le nombre total des sous-groupes d'un type donné, il 

 suffit de déterminer le nombre de manières de choisir ses générateurs 

 indépendants parmi les opérations de G, el de diviser ce nombre par le 

 nombre de manières de choisir les générateurs indépendants dans le sous- 

 groupe ('). De là, le nombre des sous-groupes de G, dont les invariants 

 sont //.,/>!''', ..., //'(a, = (ii,, ao>Po , yv> [3/) est donné par la formule (-) 



\P_ '— P ' )--\p 1 — p ' ; 



où Wa(x = I, ..., l) représente le nombre des invariants de G qui ne sont 

 pas moindres que p^, et «„ a la même signification en ce qui concerne les 

 invariants des sous-groupes requis. En particulier m^ =zn, 11, = L 



» B. Pour trouver le nombre des sous-groupes caractéristiques deG(^), 

 il faut énoncer explicitement si les invariants sont égaux. Supposons que G 

 ait p, invariants égaux à yo", (3, égaux à p^--, . . ., p„ égaux à />"-. 



Il y a juste n sous-groupes caractéristiques, lesquels ne contiennent 

 aucune opération dont l'ordre excède p. Le plus petit de ceux-ci est 

 d'ordre jP^ et il est contenu dans chaque sous-groupe caractéristique possible 

 de G. Quand /? >> 2, le nombre des sous-groupes caractéristiques de G est 

 donné par la formule 



p=" 



2(a, - 7.._+\){rj..,- «,-M)...(ap_, — ap4-i)(ap-ap^,). 



p = i 



» Cette formule donne aussi le nombre des différents systèmes d'opéra- 

 tions conjuguées sous le groupe des isomorphismes de G. Quand/) = 2, la 

 formule donne encore le nombre des différents systèmes d'opérations con- 

 juguées de G, mais la formule pour le nombre des sous-groupes caracté- 

 ristiques devient un peu plus compliquée. 



)) Ces résultats peuvent être facilement appliqués aux groupes abéliens 



(') Ce nombre est Tordre de groupe des isomorphismes de ce sous-groupe, 

 (2) Heffter, Crelle, t. 119, 1898, p. 261. 



(^) Un sous-groupe caractéristique de G est un sous-groupe qui comprend toutes 

 les conjuguées des opérations du sous groupe sous le groupe des isoiiiorpliismes de G. 



