SÉANCE DU II AVRIL 1904. 891 



guées. Ce résultat comjîorte un certain nombre d'applications aux équations 

 de la géométrie. 



» II. Nous nous aidons du théorème suivant, qui comprend comme cas 

 particuliers plusieurs théorèmes de M. Jordan ('). 



» Soient les congruences 



a;-p -f- a^p -+-... -f- x'^^'"^^ o (mod/) 



(p = I, 2, . . ., y, r, r, donnés, /■, > 2), et r'' lettres caractérisées par les 

 g indices a\,X',..,,Xj (mod/). Soit C un système quelconque de ces /■, lettres, 

 distinctes ou non, dont les indices forment une solution de ces congruences. 

 » Quand r est une puissance exacte d'un nombre premier, l'ensemble 

 des substitutions entre les /-^ lettres qui permutent entre elles toutes ces 

 combinaisons G est le groupe F dérivé du groupe G' des substitutions 

 linéaires homogènes 



\x,,...,Xy, a\x,-{-...-\-a'liV,j, ..., al^x, -h...-\- af^x^l (mod/) 



et du groupe G' des substitutions 



X, 



Xy, ^1 H- a,, ..., a^y-i- a.,J (modr) 



oii a,, . ., apprennent (mod/-) toutes les valeurs possibles multiples de-,> 



B étant le plus grand commun diviseur de /■ et r, . 



)) Ce théorème est encore exact quand /•, = 3, ç' = 3, /•= 6. 



» III. Notre propriété I pose la question de la détermination de la classe 

 des substitutions d'ordre 2 ou même delà classe d'un groupe quelconque, 

 en vue des applications à la théorie des équations et à la géométrie. On 

 peut indiquer une méthode générale qui, ajjpliquée à chaque groupe, per- 

 mettra de résoudre la question, ou au moins de trouver des conditions 

 nécessaires auxquelles doivent satisfaire la classe de ces substitutions 

 d'ordre 2. Les substitutions (^d'ordre 2 ounon) du groupe linéaire général non 

 homogène de degré p^"^ à n indices (^mod p^') déplacent nécessairement oi*" ou 



lettres, avec «„ = o, 1,2, ..., ou 71 — i, i,,i > i^,.-, égaux à o, \, 2, ..,, oun. 



Ce groupe est de classe p^" — p^"^ ' . 



» Quand [j. = i et/?> 2, les substitutions d'ordre 2 déplacent/3"~*(p^ — i) 

 lettres (^' = i, 2, ..., ou « — i); il y en a de chacune de ces classes. 



(') Jordan, Traité des substitutions, Livre III, Chapitre III. 



