952 ACADÉMIE DES SCIEXCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une série analogue aux fonctions 

 modulaires. Note de M. Lercii, présentée par M. E. Picard. 



« La série suivante dépendant du paramétre réel oj, 



(0 ^(-)==i; 



C0tvC07 



(2V-)-"'- 



est dépourvue de sens, si w est un nombre rationnel; elle est convergente 

 pour m^i, si oj est racine d'une équation quadratique aux coefficients en- 

 tiers, et plus généralement, pour toute quantité irrationnelle algébrique 

 donnée oj, dès que m surpasse une certaine limite. 



» Si la série /(c-i) est convergente pour une quantité w, algébrique ou 

 transcendante, elle le sera aussi pour toute quantité o/, équivalente à w 

 dans le sens de Lagrange, et la quantité /(o/) s'exprime linéairement 

 par J {<■•>) et rationnellement par oj. 



)) Désignons par (— i)"'o( oj) le coefficient de x'-'" dans le développe- 

 ment, suivant les puissances de la variable x, de la fonction 



I 



(e^— i)(e"' — I)' 

 alors on a la relation 



(2) /■(<„) +oj-/\ij=?(«) 



qui, jointe aux relations évidentes : 



/(- oj) = -/(oj), /(oj ± =/(oj). 



fournit l'expression cherchée de /(lo' ). 



» Soit 



t -h 1/ Jd 

 0) = 



2 



une unité quadratique, c'est-à-dire que les entiers/, a satisfont à l'équation 

 de Fermât t'- — du'- = 4^. £ — - ± i; alors l'équation ( 2) donne 



et cette formule permet de conclure que le produit / (oj)y/^est un nombre 

 rationnel. Par exemple, faisant w = — —^-i on aura 



V -^ 2d (2V7T)' ^ ~ TTT: ■ 

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