SÉANCE DU l8 AVRIL 1904. qSS 



» Plus généralement, si w est une irrationnelle quadratique, /(w) est 

 une quantité du même genre. On le vérifie d'abord sur les irrationnelles 

 dites réduites; pour une telle quantité, l'algorithme des fractions continues 

 I I I 



(0 ^ (2 -|- — ) co , = fl! , + — ) il)., = (In -\ ; • • • 



oj, ' ' w, - ■' Uj 



fournit une quantité to^égal à w. La formule suivante, qui est générale, 



r-^\ f( N-V (-■r"'?('-'v) , (-0'7(^-) 



\^) J^^'' ~ ^d(w, (0, ... 0,,)^'" ^ (w^to, ... Wr)"-'"' 



v = l 



devient une équation linéaire pour l'inconnue /(w), si l'on y fait ov= w. 



» Si oj n'est pas réduit, un des quotients complets w,, coo, CO3, ... sera 

 comme on sait une irrationnelle réduite, et en le désignant par co^, la for- 

 mule (3) donne /(o)) sous la forme annoncée. 



» Ici s'impose la question concernant la distribution en classes des 

 quantités /(w) provenant des différentes valeurs de l'entier m. 



» La formule (2) conserve un sens pour o) irrationnel quelconque, si on 

 l'écrit 



cot — 



(4) (,.)-..,(.) ^2?^-^ +-'"2; n^' 



le second membre étant considéré non plus comme la somme de deux 

 séries, mais comme un couple de séries, notion que j'avais précisée dans un 

 Mémoire de l'Académie de Prague, en 1899. Dans une telle expression, on 

 range en couples les indices v et [j. tels que la quantité vw — y, = ^ soit en 

 valeur absolue plus petite qu'une fraction choisie à volonté, puis on com- 

 plète les valeurs des indices par des valeurs libres, de manière à obtenir la 

 totalité des entiers positifs v et a. 



» Les indices libres engendrent des séries absolument convergentes et 

 il ne s'agit que des indices rangés en couples. Pour voj — a = E, on a 



COlvco- ^ COll-, COt^— = — cot — > 



I,) (u 



et les termes du même couple ont pour somme 



y 



çir 



y col J 



COtÇTt W 



(0 ■/ 



quantité qui, pour ^ très petit, est sensiblement égale à 



2m -I- I 



