9-')/» ACADÉMIE DES SCIEXCES. 



» En faisant tendre w vers une limite rationnelle -, le passaee à la 



limite s'effectue aisément; on obtient de la sorte certaines réciprocités 

 algébriques dont la plus simple est celle (]c m = \ : 



1 y cot^^" col^^ coséc^^ + i V cotP^ cof^ coséc= '^ = (p^-rr-3p^ç^ + ^_ 



P -^ P P p q ^^ q ,j q 40^^ 



p=i P=' 



» On peut se servir de la formule (4) même pour des valeurs ra- 

 tionnelles co := -« en bornant chacune des deux séries à un nombre 



restreint des termes, pourvu que les deux entiers p ni q soient d'une 

 certaine grandeur. Ce procédé d'approximation présente même des avan- 

 tages sur l'emploi de la formule finie 



m 

 , . _ B„, + ,(.o^"'+^+l) I ^ /-2W + 2\ ,^__ 



V=:l 



dès que 77i surpasse une certaine limite. 



» La série (i), que je désigne désormais par /i,„^, (lo), paraît avoir 

 quelque importance dans l'arithmétique approximative. Considérons en 

 effet les polynômes bernoulliens, modifiés par la présence du terme 

 constant lorsque n est impair, 



n \ B, 



a V — I / 2 V 



en désignant par u et to deux quantités réelles, la seconde étant irration- 

 nelle, choisissons l'entier positif/' tel que le plus petit reste absolu 



S 



rw 



/'O) 



soit très petit, et posons a:,, ^ (/ + vu — [?/ -f- vojj, de sorte que o <^x^<^i; 

 alors la somme 



r-l 



(5) S„=T<l'„(a:,) 



sera elle aussi très petite, au moins si la série 



^ A-'^+' sin kioT. 



k 



est convergente. 



» Dans le cas de it = o, l'introduction des séries f(^o) permet de 

 pousser l'approximation beaucoup plus loin, comme on peut aisément s'en 

 rendre compte. » 



