SÉANCE DU 18 AVRIL igo/p q55 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la ihrorie des systèmes d'éc/aalions 

 différenliellcs linéaires. Note de M. L. Sciilesixgeu, présentée par 

 M. Poincaré. 



« Dans deux Mémoires publiés en 1887 et en 1899 par la Société royale 

 italienne des Sciences {detla dei XL), W. Volterra a développé les fonde- 

 ments d'un calcul infinitésimal des matrices composées de n- fonctions 

 d'une ou de plusieurs variables, en remarquant que ce calcul contient en 

 quelque sorte la théorie des équations différentielles linéaires comme cas 

 spécial. En suivant la voie ouverte par l'éminent géomètre italien, j'ai 

 observé que la plupart des recherches relatives aux groupes des équations 

 linéaires devient beaucoup plus élégante si, au lieu de rattacher ces 

 recherches à une seule équation linéaire du «"■■"" ordre, on les rattache à 

 un système de n équations du premier ordre. 



» Soit 



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(') Ê^=2]'^^*->'>' (/i--= 1,2, ...,«) 



x=/,- 

 un tel système, et soit 



(2) (7,/.-) (i,^- = 1,2, ...,«) 



un système fondamental de solutions {inalrice intégrale) se réduisant à la 

 matrice unité (S,vi) pour une valeur régulière a?(, de x. Nous poserons 



(j/0 = I(«m) et (a,,) = (• r,A)-' (^) = D(j',,). 



M Supposons que les a,;; soient des fonctions rationnelles et cjue les solu- 

 tions de (i) n'aient pas de points d'indétermination. Soient a,, ..., a^ 

 et se les points singuliers essentiels du système (i) qui pourra posséder 

 encore un nombre quelconque de points à apparence singulière (^ausser- 

 wesentlich), et joignons les «,, ..., a, au point 30 par des coupures /, , ..., 4. 

 Si la variable a franchit la coupure /,, la matrice intégrale (j/a) se change 

 eu (A',';')(/,a). où (a,/) est une matrice constante à déterminant différent 

 de zéro. Nous dirons que deux matrices {yin), (^,a) appartiennent à la 

 même classe si leurs éléments ont les mômes points singuliers essentiels et 



