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si (j/a) et (ô,7,) subissent les mêmes substitutions (A/^!) lorsque x franchit 

 les coupures /.;. On aura alors 



où les r,j sont des fonctions rationnelles. Dans un Mémoire qui paraîtra 

 prochainement, et clans lequel nous traçons d'une manière nouvelle les 

 fondements de la théorie des systèmes d'équations linéaires, nous démon- 

 trons le théorème suivant : 



» On peut déterminer les r,/, de façon que (',/,) et ( V/t) appartiennent à la 

 même classe, que (',a) n'ait pas de point à apparence singulière, que (z-ik) •^c 

 réduise à la matrice unité (S^) pour x = x„ et que les éléments de la ma- 

 trice D( z-i^) n aient aux points a,, . . . , cr,, -x que des pôles du premier ordre. 

 Le système différentiel, dont les (s/;,) constituent une matrice intégrale a donc 

 la forme 



o) ê=2:-'>.ij^, <'=''^- ")• 



es Byl étant des constantes, et la matrice {:-ij,)se trouve déterminée d'une manière 

 unique, aussi bien que le système (3), par les exposants relatifs aux points 

 singuliers, c ' est-à-dire var les racines des équations déterminantes 



(4) |b;;:-§,,-/-i = o (v = i, 2, ..., ^), 



(t, k= I, li, ..., n). 



» Les éléments des matrices(A|I ) sont, d'après un théorème de M. l'oin- 

 caré (^Acta math., t. lY, p. 212) des fonctions entières des coefficients BJ]^'. 

 Si l'on suppose d'ailleurs que les K"^ soient indépendantes des affixes des 

 points singuliers a,, .... o,, les théorèmes que j'ai démontrés dans mon 

 Mémoire du Tome 124 du Journal de Crelle (p. 292 et suiv.) déterminent 

 immédiatement la manière dont la matrice (:;,7,) se comporte, quand on 

 fait décrire par les points a,, ....«<; des chemins fermés quelconques. Mais 

 le rôle fondamental qu'il faut attribuer au théorème que je viens d'énoncer 

 consiste en ce qu'en vertu de ce théorème on réussit à démontrer l'exis- 

 tence des fonctions satisfaisant au problème de Riemann (voir Comptes 

 rendus, 7 mars 1898), sans qu'il soit nécessaire d'imposer aux substitu- 

 tions (Ai];.') données les restrictions que j'ai nommées les conditions de conver- 

 gence. » 



