ll/iH ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le connexe linéaire dans l'espace ù n — i 

 dimensions. Note de M. Liêon Autoxne, présentée pai- M. Jordan. 



« J'ai consacré au connexe linéaire dans l'espace à trois dimensions 

 (rt = 4) les quatre premiers Chapitres de la seconde Partie, dans mon 

 Travail Sur les formes (/uaternaii-es à deux séries de variables (inséré aux 

 Mémoires couronnés tl Mémoires des savants étrangers, publiés par l'Aca- 

 tlémie de Belgique, t. LIX, 1901). Je passe au cas général n — \, o\x n est 

 quelconque. 



» [Venons (terminologie de Frobenius, aujourd'hui classique) la matrice 

 «-aire A = [«a;-i]' '^«P ^^ const., j x, p =; i , 2, . . . , «{ et le connexe linéaire X 

 ayant pour équation 



k{x\u) =^a^^u^x^^ o. 



Nommons a, b, c, ... les racines distinctes de l'équation caractéristique; 

 soit 



^{r)^{r- af'>(r-ay'...(r- af^-'ir - by«. . . = U{r - If 

 (a„>a,>...Sa,_,;p„>. ..>...); 



i)v = z„ 4- . . . «A_, + Po -^ • • • = ■^^ ; 



la fonction caractéristique, décomposée en ses Elementarlheiler (Weier- 

 strass). 



» Un choix approprié de coordonnées met en évidence les propriétés' 

 suivantes : 



» Au facteur (/• — If de A(r) correspondent : 1" une matrice A >.-aire 

 composante; 1" ■2\ variables Zj et Wj jy = 1,2, . . ., a{, choisies parmi les 2« 

 variables x et u. On a 



A(5; 11') = /isd- -I- ir, s. + ...+ (?•),_, :;>, et A(a7; ?/) = iA(x; ir), 



où la sommation s'étend à toutes les composantes A. Les diverses A, où / 

 est égal à une même racine a , formeront V hjpcrsystéme (u ). Dans chaque A, 

 on nommera paramétre fondamental la variable s, et la variable »'>. 



» Il y a ce*"' points fondamentaux E„, fournis |)ar la racine a. On les 

 obtient par la règle suivante : 1" dans chaque A, ([ui n'appartient pas à (a), 



