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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fondements d'une théorie systématique 

 des fonctions sphériques. Note de M. Niels IVielsen, présentée par 

 M. Emile Picard. 



« L'introduction historique des fonctions s|)hériques de la première 

 espèce comme les coefficients d'une cert;iine série infinie est peu naturelle, 

 parce qu'il faut introduire en outre les fonctions de seconde espèce pour 

 pouvoir donner une théorie complète des fonctions en question. 



» Or, il est possible de développer une théorie systématique des fonc- 

 tions sphériques en suivant une méthode analogue à celle que j'ai appliquée 

 dans mon Traité des fonctions cylindriques ( '). A cet égard nous définissons 

 la fonction sphérique R^'"(ic) de l'argument x, d(" l'indice n et du para- 

 mètre V comme la solution la plus générale de ces deux équations fonc- 

 tionnelles 



(r) (r - .r^)D^K'''"(a^)=:(« + 2v).rK-''"('.'r) — (^ + i)K^'"-^'(a;), 



(2) 2(«-hv)it:K"'«(a;) =(«-+-i)K"''"+'(a;) + (« — i + ^v) K"''"~'(i£^); 



nous supposons toujours que n soit un entier non négatif; mais il est 

 évident que la résolution suivante des deux équations susdites est appli- 

 cable pour une valeur quelconque de n. 



» Ajoutons les équations (i) et (2), nous aurons évidemment 



(3) (1 — £P')D^K"'"(^) = -«^K'''"(a;)-H(« - i 4- 2v)K'''"-'(,ï;), 



équation qui peut remplacer chacune des équations originelles (i) et (2). 

 » Pour déterminer ensuite la fonction sphérique la plus générale, consi- 

 dérons tout d'abord le cas particulier où R'''" (or) est supposée nnalvlique 

 quand on la regarde comme fonction de x, hypothèse qui nous permet de 

 différentier par rapport à x l'équation (j), ce qui nous conduira, en vertu 

 de (3), à ce cas particulier de l'équation de Gauss 



(4) (i — x-)li]^ R^-'^a:) - (i + 2v)a;D,, R'''"(.r) + n(n + 2v) K'^"{x) = o ; 



c'est-à-dire que notre cas particulier des fonctions sphériques n'a, dans 

 toute l'étendue du plan des x, que ces trois points singuliers : ir = + i, 

 a;= I et 07 ^ cG. 



(') Handbuch der Théorie der Cylindcrfiinluioncn; Leipzig, 1904. 



