SÉANCE DU 3o MAI igo/j. 1 329 



» Supposons «l'abord |a-|<^i, nous fiblenons ces deux inlép;rales parti- 

 culières de (4) : 



) • ' V 2 2 



^ ^ i „/!-«/,+ , 3 



f y., = .'r.F . l-v, -, .T 



où F(a, p, y, ar) désigne la série hypergéométriqiie ordinaire. 



» Supposons ensuite |a;|>i, nous aurons, en vertu de (4), pour la 



fonction :; = K'''"( — )> cette équation différentielle : 



(4 te) !V-(l — a;') 3'-' -I- (l — 2V — 2.C-),rs''>— Aî(rt + 2v)3=:0, 



équation qui admet comme intégrales particulières ces deux séries hyper- 

 géométriques : 



(5 te) 





;^ = x"^-^'.Y[ '^ "*" ' -4- V, - -+- V. ( + « + V, .-r- ) . 



» Cela posé, il nous reste encore à déterminer, à l'aide de ces inté- 

 grales particulières, la fonction sphérique susdite qui est fonction analy- 

 tique de X. Dans le premier cas, où |,r| <^ i, il faut évidemment considérer 

 une combinaison linéaire des deux intégrales particulières y, et Vo, savoir 



A(v, n)y^ + B(v, n)y^\ 



un simple calcul montrera que cette fonction satisfait à (i) et (3) à la fois, 

 pourvu que nous posions 



^(''")=^, (o.(v,n), B(v,.0 = : V ' ,x ^ ^o>(v,^ + r), 



r - -hi r' 



où (o(v,/i) désigne une fonction qui est assujettie à satisfaire à cette con- 

 dition de périodicité : 



u(v, 77 -I- 2) = — w(v, n), 



mais étant du reste complètement arbitraire. 



» Cela posé, il est évident que nous obtenons ces deux fonctions sphé- 



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