SÉANCE DU 6 JUIN 1904. l/jOl 



CORRESPONDANCE. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les expressions formées de radicaux 

 superposés. Note de M. Pail Wier\sberger, présentée par M. Appell. 



« I. Développements infinis pour le sinus et le cosinus. — Dans uae précé- 

 dente Note (') j'ai considéré des expressions de la forme 



(l) V^+ £. \/^ + s. v/2 



= I , 



et j'ai prouvé leur convergence, dans le cas où les s^ ^^ reproduisent pério- 

 diquement. Depuis lors, j'ai réussi à établir une relation simj)le entre cer- 

 taines séries numériques et les expressions (i), avec ou sans périodicité, 

 conduisant à des développements infinis pour le sinus et le cosinus qui 

 sont, je crois, entièrement nouveaux. 



» 1. Si o'S.x'Si, on peut toujours mettre le nombre a: sous la forme d'une 

 série absolument convergente 



(2) ^= ^ +-1,;^ +''i2:^ -+----+-^/,-.:A H-..., Vr,h\-i- 



» Ce développement est unique, à moins que x soit une fraction irré- 

 ductible dont le dénominateur est une puissance de 2; alors il y a deux 

 développements différents. Les signes se reproduisent périodiquement, à 

 partir du premier, si x est une fraction irréductible dont le dénominateur 

 est impair; ils ne se reproduisent périodiquement qu'après un certain rang 

 si ce dénominateur est pair. Enfin il n'y a aucune périodicité si x est 

 incommensurable. On peut d'ailleurs détermirser les signes en remarquant 

 que r,/^ est égal à -f- 1 ou à — i selon que le numérateur de la valeur 



approchée de x, à -^près par défaut, est impair ou pair. Il est aussi facile 



d'établir une certaine corrélation entre ces développements et le système 

 binaire de numération. 



(') Comptes rendus, 28 décembre igoS. 



C. R., 1904, I" Semestre. (ï. CXXWUl, N« 83 ) 1 D2 



