l/joa ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» 2. Le nombre a: étant défini par la série (2), on a 



(3) 



en posant 



SlII -X =-' - 

 2 2 



V 1 -hi,\'i +...-+- £av'2 



/ cos^'a; = -y 2 — £, V2 -t-. . .-H sav'2 -H- 



Yly,= e,£2...£A (A= I, 2,3, ...). 



» En limitant les formules (3) aux h premiers radicaux, l'erreur com- 

 mise esl moindre que 2 sin -^£^- On a aussi 



sin7:a;= -y ^ — ^aV^ 



^AV2 



cos-a; 



^£,V 2 + t.,\-2 +...-h £aV-' +•••• 



» Ces développements sont uniques pour toutes les valeurs de x qui ne 

 sont pas des fractions irréductibles ayant pour dénominateur une puis- 

 sance de 2. 



» IL Convergence. — En cherchant à généraliser les résultats auxquels 

 j'étais parvenu relativement à la convergence des expressions (i), je me 

 suis demandé s'il n'existe pas de conditions de convergence pour les 

 expressions de la forme 



où n est un entier ^ 2 et où les «a signifienL îles nombres positifs tels que 

 les expressions placées sous chacun des radicaux soient positives, ces radi- 

 caux étant d'ailleurs |.ris avec leur valeur arithmétique. Voici les princi- 

 paux résultats aiix({uels je suis parvenu. 



» 1. Si tous les t^ sont positifs, la condition nécessaire et suffisante pour 

 que l'expression (1) soit convergente est que les nombres a/, satisfassent 

 tous à l'inégalité 



(5) a""<A (A = 1,2, 3,...). 



A étant un nombre fini quelconque. 



