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à l'origine, pour rayon | X„ |, et lel qu'à l'extérieur de ce cercle on ait : 



V(x) = [(m-hi)b-h i]x"', I^K^, ('y^ nombre donné 



X, étant un point critique quelconque, on peuL calculer une valeur appro- 

 chée de l'une quelconque z des deux branches qui s'annulent en a-,. 

 Traçons un cercle 1 de centre O et de rayon «.a:, (■/ << ^). On a : 



à l'extérieur de 2 :; = (6 + i)(x"'^' - x"'^')-+- i,^' 



à l'intérieur de 1 | :; | > X] a: 



/«+t 



\m-hi 



I £ I et I £, 1 étant inférieurs à -r-^-> h et 1 restant fixes, lorsque 1 .t, I croît. 



» Il résulte de là que z ne saurait s'annuler qu'au voisinage des racines 

 (^fn _j_ jyfmes (|g x'"^'. Soit a une telle racine, y et y' denx nombres arbitrai- 

 rement petits. J'ai vérifié qu'à partir d'une certaine valeur de|a;, |, la 

 branche d'intégrale z s'annule, d'une part, dans le cercle de centre a et de 

 rayon | a j^ et ne saurait, d'autre part, s'annuler deux fois dans le cercle de 

 rayon \7.\'~'''. En d'autres termes, si nous partons d'un point a?„ intérieur 

 à 1 avec une même détermination \/s„, et si nous balayons le plan en faisant 

 tourner autour de x„ une droite x„x, nous ne rencontrons ainsi que 

 m -h T points critiques, respectivement voisins des zéros de x'"'^' — x'"'^' . 

 Si, par chacun de ces m -+- i points critiques, nous menons une coupure recti- 

 Ugne allant à F infini, l'intégrale qui admet la valeur initiale \Jz„ devient une 

 fonction uniforme de x dans tout le plan. 



» Nous appellerons branche d'intégrcde la fonction ainsi définie, x,, . . ., 

 oc,„^^ ses points critiques. Lorsqu'on tourne autour d'un nombre fini de 

 points critiques, on obtient une nouvelle branche ayant ses points critiques 

 respectivement voisins de x^, .. ., a:,„^_,, en sorte que l'on peut, sans ambi- 

 guïté, les affecter respectivement des mêmes indices i, .... m -h i ■ 



« Quasi-périodes. — Lorsqu'on décrit un contour fermé issu de x„ et 

 entourant un point critique d'indice i, puis un point critique d'indice 2, 

 z augmente de o>. On peut vérifier que, si l'on décrit n fois de suite un tel 

 contour, z augmente de (i + i)nio, ([ j | étant arbitrairement petit si l'on 

 prend \x^\ assez grand). L'accroissement to constitue un type de quasi- 

 période pouvant être ajoutée ou retranchée. Il y aura, en général, pour les 

 intégrales de (3), m types différents de quasi-périodes, le plus souvent non 

 comniutables (ce qui veut dire que la valeur d'une somme algébrique de 



