SÉANCE DU l3 JUIN igo^. l/|8l 



quasi-périodes dépendra de l'ordre dans lequel ces périodes seront ajou- 

 tées on retranchées). Je puis en déduire qu'une aire quelconque (exté- 

 rieure au cercle S) conlient en général une infinité de délerminations :;,(a:„) 

 de z(a;-„). quel que soit j;'„. 



» Pour qu'il n'en soit pas ainsi, il faut qu'une infinitéde ces détermi- 

 nations viennent à coïncider. Or cela exige : 



» 1° Que les quasi-périodes soient réductibles à deux; 



» 2° Qu'il existe une relation entre les quasi-périodes, c'est-à-dire une 

 combinaison d'un nombre fini de quasi-périodes qui soit identiquement nulle 

 quels que soient x„ et la valeur initiale \/z„. 



» Soit, en particulier, m ^ 3. Le degré p de L sera, d'après nos hypo- 

 thèses, o ou T . Je me suis proposé de rechercher s'il existe alors des équa- 

 tions (2) dont les intégrales possèdent deux quasi-périodes commutables. 

 Bans le premier cas (jo = o), cette recherche conduit aux résultats suivants : 

 On reconnaît que la condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait 

 commutabilité des périodes est que l'infini soit un pôle pour une branche 

 quelconque d'intégrale, ce qui n'a lieu que lorsque l'équation (3) admet 

 pour intégrales particulières deux polynômes. En ce cas, on peut construire 

 dans tout le plan, et sans ambiguïté aucune, un réseau de parallélogrammes 

 curvilignes des quasi-périodes dont les sommets sont tous les points cri- 

 tiques d'une même intégrale, ^ensemble des points critiques, comme Ven- 

 semble des ^(^), n a d'autre point limite que V infini. Mais ces intégrales se 

 trouvent être immédiatement réductibles à des fonctions connues. Au 

 moyen d'un changement de variable linéaire, on les ramène à la forme 



(3) -=V^4-V 



x^~^. 



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» Posant >Jz ^= x(t, -+- ~), i\x = /(6ri -t- i), on obtient 



dr. nit- — I 13 1- 



2/-r^ =-0^ ^ 



dl 'i — 36i- I — 36<- 



» Lorsque p = o, toutes les équations pour lesquelles les quasi-périodes 

 sont commutables se ramènent donc à une équation linéaire. » 



MÉCANIQUE. — Energie en jeu dans les actions statiques. 

 Note de M. Eugèxe Lebert, présentée par M. Maurice Levy. 



« Dans une Communication (^Comptes remlus du 24 mai 1904), M. Ernest 

 Solvay, à l'occasion des expériences de M. le professeur Chauveau sur 



C. K., 1904. I»' Semestre. (T. CXXXVUI, N" 24 ) 167 



