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lieu, dans ces dernières années, à de nombreux travaux. Il nie semble 

 intéressant de montrer que la réciproque énoncée (si elle est vraie dans 

 des cas fort étendus) n'est pas toujours vraie. J'indiquerai en effet dans 

 celte Note un exemple fort simple où une posi/ion régulière d'équilibre est 

 stable, bien que la fonction de forées prenne dans le voisinage de celle position 

 des valeurs de signes contraires. 



» Considérons un point matériel M de masse m, soumis à une force X, 

 Y, Z dérivant du potentiel U(a;,j, =). Les équations du mouvement sont : 



^ ^ at^ dx dt^ dy dl- d: 



» Une position régulière du système est, par définition, une position 

 (a„,jKo,5„) ou M„ de M, telle que les fonctions X, Y, Z et leurs dérivées 



ÔX OX (JZ . ^ . . • u;r .. J 



premières ^> -r-» • • • » y: soient continues quand le point M coïncide avec 



le point Mo ou s'en écarte très peu. Les conditions initiales x — x„, j=j„, 



z ^ z„, x' = x'^, y^y^, z' =: z[^ pour ^ = /„ définissent un mouvement et 



un seul, quand la position (x, v„, z„) est régulière. 



c .. .,. , V' I 11 àV OV àV 



» 30it a; =r y ^ ; =: o une position régulière pour laquelle -t-^j -c— > -y- 



sont nuls. C'est une position d'équilibre du point M; il est loisible de sup- 

 poser que U s'annule pour x = y =^ z = o. Je vais former un exemple où U 

 prend (dans le voisinage de l'origine) des valeurs île signes contraires, 

 bien que l'origine soit position d'équilibre stable. 



» Considéroi>s d'abord un point M mobile sur Oj;' et soumis à la force X= y-' 



où U = — a;' sin - • La position j; = o est une position régulière, car U, U^, 



U^, restent continus quand a; varie de — £ à + e et s'annulent pour x =: o. 



De plus, Ll(a') est une fonction paire, positive si 2X- <:^ , — : <^ (-i/,- -h 1)77, 



I ^ \ 



négative si (2X: -+- 1)- <; p^ <;( 2/: + 2)- (X- entier ^o). La fonction U est 



donc positive et négative pour des valeurs de a; aussi petites que l'on veut. 

 » D'autre part, la position x = o est une position d'équilibre stable du 

 point M. En effet, l'intégrale des forces vives donne ici 



( 2 ) J7 - = X^ Slll - -h X ' — X„ Slll — = X SI 11 --(-//. 



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