'^yo ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Celi. posé, prnposons-nous fie résnndro le problème suivant : 

 )> Trouver une fonction V(m) vé-ifianl V équation fonclionnelle ( ' ) 



(3) V(/n) = lJp(m,)G(m, m,) \(m,) d-'+f{m), 



OUI est im paramétre, /(^m) une fonction donnée continue, p(m) une autre 

 fonction donnée, continue, positive et ne s' annulant pas dans (D). 

 » Cherchons Y {m) sous !a forme de la série 



(4) Y {m) = v,{m) + >.r, (m) + \-v,{m) -.>-,.. -f- 'iS'k{m) 4- . . . 

 où, en verUi de (3), 



(5) v„{m)=f{,n), i',{m)=- fG(m,m,)p(m,)i',^^^dT'. 



» Les fonctions c, (/?• = i , 2, 3, . . . ) ,,{,„; .j^,^ i^iirs dérivées du premier 

 ordre restent continues dans l'espace toul enlier; elles satisfont auK équa- 

 tions 



(^) A(v= o à l'extérieur de (S) 



et se comportent à l'infini comme un potentiel newtonien. 



T» _ _ _ _ • 



Posons 



W, =/,„,' A. .,=/2(è)'.<'T, 



la dernière de ces intégrales étant étendue à l'espace tout entier, la pre- 

 mière au domaine (D). li est aisé d'établir, en tenant compte de (1), (2). 

 (5) et (G), les inégalités suivantes : 



^'^<Q\'W;~:, W,<Q;W,^,, W;<W,_,\VV„ 



J Jd\ du: 



d-. 



Q, Qi, N étant des nombres fixes ne dépendant pas de k. 



» Ces inégalités étant établies, nous démontrerons sans peine, moven- 

 nant la méthode connue de M. Poincaré (lien/, di Palermo, 1894)," ces 

 théorèmes généraux : 



» I. La solution de l'cfjuativi (3) est une fonction mèromorphe en \ n'ayant 



(•) Comparer Ivar Fiiedholm, Acla mathenuUica, t. XXVII, igoS. - Divm IIilbiîrt 

 Nachrichten der k. Gesellschaft der Wissenschaflen. Gotlingen, Ileft I, 1904. 



