SÉANCE DU 2<> JIJIX I()o/|. 1571 



que des pôles simples, réels cl posùi/s a, , ).,,..., "a/j, . . ., indéftnunenl croissant 

 avec l'indice k. 



» II. Tout domaine (D), limité par une surface (S), pour laquelle on peut 

 résoudre le problème de Dirichlet, donne lieu à une infinité de fonctions fon- 

 damentales V,, Vo, . . ., V^, . . ., continues et vérifiant les équations 



^'k(m) = >-A- JG(m, m,) p(m,)V ,fm,) d-', 



fp(m)Yi(m)dz = i, (p{m)\Jm)\,{m)di = o, si n^l. 



Les fonctions V* sont proportionnelles aux résidas de la fonction Y (m) corres- 

 pondant aux pôles >/( (k = i , 2, '^, . . . ). 



» Par la même mélliode, légèrcmeiif mnclifiée, on peut démontrer 

 l'existence d'une infinité de fondions fondamentales d'une antie caté- 

 gorie satisfaisant aux conditions 



Yk=l,fG{m,m,)p(m,)Y,(m,)ds (/!: = r, 2, 3, . . .)- 

 l'intégrale étant étendue à la surface (S). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie des fonctions sphénques. 

 Note de M. Niels 1\ielse.\, présentée par M. Emile Picard. 



« Dans une Note récente {Comptes rendus, 3o mai igo/() j'ai donné des 

 solutions particulières des deux équations fonctionnelles que j'ai prises 

 comme définition des fonctions spliériques; pour déterminer maintenant 

 la fonction sphérique la plus générale désignons par FY'{x) et F.;''(.r) 

 les fonctions définies à l'aide des formules (G) ou (6 bis), pins remarquons 

 que l'équation fonctionnelle (2) est une équation aux différences finies du 

 second ordre, nous verrons tout d'abord (juc la fonction splièrique la 

 plus générale K'-'^x) doit ae présenter sous celle forme 



(7) KV'(^) ^ A^'-'C*-) F;"(^') + B"'"(,r) YY{x), 



où les coefficients A et B doivent .satisfaire à celte condition de périoclicilé 



{-j bis) AV'+'^a;) = AV'(a;), B'' «-'(.r) = B^"(a;); 



c'est-à-dire que nous avons à déterminer ces deux fonctions A el B telles 

 que ^''."(a;) satisfera ausM à l'équation fouctionneUe (i). 



