Jb-J'2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» A cel égard, inlroduisoiis dans (i) l'expression (7), nous aurons cette 

 condition nécessaire cl snffisanle à la fois 



(«) 



F',"{a;)D^V^"{x)-i-FY(x)D^W^"(x) ^ o. 



)) Sujiposons maintenant que A et B ne soient pas indépendants de x 

 tous les deux, nous aurons, en outre de (8), 



(8 bis) 



F';"(.r) 



D^B"."(-r) 



DxA"."(-i-)^ 



c'est-à-dire cpie le premier membre de (Suis) doit être une fonction pério- 

 dique de n, en ayant la périotle additive -+- 1. Or, je dis qu'une telle pério- 

 dicité est impossible. 



» En effet, cherchons le déterminant fonctionnel 



(!)) 



F]'"{x) i)^f;"(^) 



nue formule très connue montrera que A n'est pas généralement égal à 

 zéro, tandis que la formule (1) donnera immédiatement 



(9 ^''") 



A= — 



n H- I 



V!,"(x) ¥'!,"^'(x) 



» Développons maintenant le déterminant figurant au second membre 

 de (9 bis), puis divisons par F^,"(a7) et F!' "^'(j;) les deux membres de 

 l'équation ainsi obtenue, nous aurons immédiatement 



Fl^x) F';''+'(^) (i— x2)A 



F-^"{^) Fl-"+'(x) (/^ -M)F-^'"(^)F'$-"+'(a:)' 



c'est-à-dire que l'équition (8 bis) est impossible, de sorte que nous avons 

 démontré ce théorème fondamental dans la théorie des fonctions sphc- 

 riques : 



)) Désignons par F'\''(^x) et F''.;"(^x) les fondions sphëriques parliculières 

 définies à l'aide des deux groupes de formules (6) et (G bis), la fonction 

 sphérique la plus générale K'''"(a') se présente sous cette forme 



(10) R^'«(a:-) = A(v, n)F\''{x) -+- B(v, n)F-'.,''{x), 



où k et F> sont des fonctions arbitraires de v et n assujetties à satisfaire seule- 

 ment à cette condition de périodicité 



(10 bis) A(v, /î -I- i) = A('v, //), B(v, « 4- 1) = B(v, n); 



