SÉANCE DU 20 JUIN igo/j. l573 



c'est-à-dire que K'''"(x) est toujours une fonction analytique Je son ar^ni- 

 ment x. 



» Le polynôme entier P'''"(a') du degré n de x qne nous désignons 

 comme la fonction splicriqiie de première espèce est défini dans toute 

 l'étendue du plan des x\ quant à Q^'"(j.) qne nous désignons comme la 

 fonction sphérique de seconde espèce, la définition (6 his^ n'est valable 

 que si |cr| > i. Or, une formule bien connue, due à Euler, donnera après 

 un calcul simple, pour la fonction sphérique de seconde espèce, cette 

 expression intégrale 



(11) Q'''«(ar) = 2--'^"-T(«+v+^)x-''+' / {ex- — \) '{i-iyjt, 



"1 



où le chemin d'intégration est la partie correspondante de l'axe des 

 nombres positifs. La formule (11) nous donne évidemment le prolonge- 

 ment analytique de Q'''"(a:;), parce que l'intégrale définie susdite est con- 

 vergente pour une valeur finie quelconque Ae x, x = ± i excepté. 



)) Appliquons maintenant la formule générale (10), nous aiu-ons, pour 

 la fonction Q, "(^) définie dans (G), une expression de cette forme 



Q;''(^) =: A(v, n) V'^\x) + R(v, n) q'^"{x). 

 » Or, ap()liquons cette formule intégrale 



(12) Qr (^0 = 2-^"'^' r(v + ly- r (' - i'^')~"''(à, 



puis remarquons que le déterminant A se présente sous celte forme 



A = C(i — x'-) -, 



où C est indépendant de x, nous aurons, pour QY'(x), une expression de 

 celte forme 



(.3) QYix) = E2=V^r(v) l-."(.r) - e~^"'"^^"'q'^"(x), 



où nous avons posé z = ± i. 



» Posons particulièrement v = -; nous retrouvons une suite de résultais 



bien connus, mais déduits d'une autre manière. On peut développer main- 

 tenant, de ce point de vue, une théorie nouvelle des fonctions sphériques. » 



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