SÉANCE DU 20 JUIN IQO^. ^^T^ 



» Nous aurons, en effet, à dcmonlrer rimpossibililé d'ni.e ilenlilé 

 telle que : 



(2) 0,(z:)c^''-^+Q,{z)e'''-^ + . . .+ (Uz)e''''-'=^q(z.), 



où P(-) ne sont plus des fonctions analytiques, comme diins les identités 

 ordinaires de M. Borel, car les 1^,(2) ont la forme suivante : 



qi n'étant pas une constante ni une fonction analytique de z\ en effet, les 

 formules (r) montrent que les y,- ne dépendent que de r= | ; |. 



» Les Q,(s) croissant moins vite que e''"''«''''-"°'^ï'^" et les !',(:;) croissant 

 plus vite que /^(log/-)?.. . .(iog'J)P'+« (a, étant un nombre positif), nous 

 démontrons, en suivant le procédé même di- AI. Bore!, l'impossibilité de 

 l'identité (2). Il est vrai que nous aurons à ajtpliquer le théorème de 

 M. Hadamard (sur le module minimum) à des fonctions non analytiques, 

 mais tonte difticulté sera écartée si l'on tient compte des résultats de 

 M. Wiman. Il a, dans son travail plus haut cité, établi le théorème de 

 M. Hadamaid pour la fonction F, (s) du paragraphe précédent, fonction 

 qui n'est pas non plus analytique. Nous n'avons qu'à appliquer ce résultat 

 de M. Wiman pour achever aisément la déirionstration. 



» 3. J.e fait que F, (s) obéit aux inégalités de MM. Boutroux et Lindeiof 

 me conduit aussi au théorème suivant : 



» F(3) étant une fo.'.cùon entière d'ordre ^ cl à croissance régulière, si on 

 la multiplie par une autre fonction entière (è){~-) quelconque d'ordre au plus 

 égal à p (' ), le produit, lorsque son ordre est égal à p, est toujours à crois- 

 sance légulière. 



» Dans cet énoncé, il faut su|)poser que F(s) n'est pas exceptionnelle 

 au sens de M. Wiman. Nous sommes affranchis de cette realriction dans le 

 cas où G(s) est aussi une fosiction à croissance rcgulière. » 



(') D'une fuçon pins précise, fuidre de G(;) ne duil pas dépasser celui de F(c), 

 des ordres étant pris daus le sens large du mot, conformément à la définition de 

 M. Ernst Lindeiof (,lc/a Socielalis scivnliaru/n Fcnnkœ, t. XXXI, n" 1, 1902). 



