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» Pour les unes comme pour les autres, les arguments des fonctions 

 arbitniires sont les iiaramèlres des lignes de longueur nulle. Mais cette 

 propriété n'est pas la seule qui leur soit commune; en effet, si l'on mul- 

 liplie l'élémenl linéaire de l'une de ces surfaces par le carré de la demi-diffé- 

 rence g de ses courbures principales, on obtient r élément linéaire d'une sphère 

 de rayon i. Pour le vérifier, rappelons d'abord que si l'on désigne par ± R 

 les rayons principaux d'une surface minima, par ds- son élément linéaire, 

 par c?(7- celui de sa représentation sphérique, on a les relations bien connues 



ds^=K-d<j-, ^-R-=:i, 



d'où résulte notre jjroposition. Quant aux surfaces isothermiques (I) de 

 M. Thybaut, elles sont définies par la propriété que toutes leurs sphères 

 harmoniques touchent un même plan; leur élément linéaire {Ann. del'Éc. 

 norm. super., igoo, p. 586) a pour expression 



,;,._ 4A'(a)B'(^)c?ar/p . 



ainsi g- ds"^ est bien l'élément linéaire d'une sphère de rayon i. 



» D'autre part, il est aisé de voir que, si cette propriété appartient à une 

 surface, elle appartient aussi à toutes les surfaces inverses, quels que soient 

 le pôle et la puissance d'inversion. En conséquence, les inverses des sur- 

 faces minima et les inverses des surfaces de M. Thybaut jouissent de la 

 propriété ci-dessus ; de plus, des inversions réitérées conduiront toujours 

 à des surfaces jouissant de cette même propriété. 



» Or, si l'on fait abstraction de la symétrie et de la position, deux inver- 

 sions successives peuvent être remplacées par une seule. Il semble donc 

 qu'on n'obtiendra jamais par ce moyen que des surfaces minima, des sur- 

 faces (I) et des surfaces qui se déduiront de celles-là/)ar une seule inversion. 

 Mais il n'en est rien. On doit, en effet, avoir égard à un cas singulier remar- 

 quable, pour lequel la pj-opriété du produit de deux inversions n'a plus 

 lieu : c'est celui où les deux inversions successives ont pour pôles deux 

 points distincts, mais situés à distance nulle l'un de l'autre. 



M Yoici deux propriétés faciles à démontrer : Si l'on considère toutes les 

 sphères qui passent par un point fixe et quon prenne leurs inverses par /ap- 

 port à un point fixe situé à distance nulle du premier, toutes ces sphères inverses 

 ont leurs centres sur un plan isotrope qui ne contient pas le pôle d'inversion ; 

 réciproquement, si l'on considère toutes les sphères qui ont leurs centres sur 

 un plan isotrope et qu'on prenne leurs inverses par rapport à un point situé 



