SÉANCE DU 27 JUIN 1904. l683 



hors du plan isotrope, toutes ces sphères inverses passent par un même point, 

 situé à distance nulle du pôle d'inversion. 



■» Des lors, comme on sait que l'inversion conserve la propriété des 

 sphères harmoniques, si l'on soumet une surface minima (S„) à une inver- 

 sion par rapport à un pôle P,, la transformée (S,) sera telle que toutes ses 

 sphères harmoniques passeront par le point P, (propriété caractéristique 

 (les surfaces minima). Si l'on prend l'inverse (S3) de (S,) par rapporta 

 un point Po situé à distance nulle de P,, les sphères harmoniques de (S.,) 

 auront toutes leurs centres sur un plan isotrope, ce qui montre d'abord 

 que toutes les surfaces (S^) sont imaginaires, ensuite qu'elles sont essen- 

 tiellement distinctes des surfaces minima, des surfaces (I) et des surfaces 

 qu'on déduit de celles-là par une seule inversion. Si l'on soumet à l'inver- 

 sion une surface (S.) par rapport à un pôle P3 situé sur le plan isotrope 

 lieu des centres des sphères harmoniques, on retrouve une surface douée 

 de la même propriété. Mais si le pôle P, est hors de ce plan isotrope, la 

 surface (S2) se transforme en une surface dont toutes les sphères harmo- 

 niques passent par un point fixe situé à distance nulle de P,, c'est-à-dire 

 en une surface (S,) inverse de surface minima. 



» Ainsi les sur/aces (S^) sont les inverses des inverses des surfaces minima, 

 la seconde inversion étant faite d'un pôle P., situé à distance nulle du point P, 

 que l'on a pris comme pôle pour faire l'inversion des surfaces minima. Il va 

 sans dire qu'elles sont isothermicpies, qu'elles jouissent de la propriété 

 relative au produit g-- c^i-, enfin que leurs coordonnées, comme celles des 

 surfaces minima, s'expriment d'une manière entièrement explicite au 

 moyen de deux fonctions arbitraires. En leur appliquant la transformation 

 de Bour et Christoffel, on retrouve des surfaces de même définition. 



» Ces surfaces (S^) peuvent être identifiées avec une classe assez peu 

 étudiée de surfaces, signalées par Ossian Bonnet (Journ. Ec. Polytechnique, 

 cahier 42) comme étant de celles qui admettent une série continue de 

 déformations sans altération des courbures principales. Mais l'illustre géo- 

 mètre s'est contenté de les définir intrinsèquement. J'ai démontré en iSgS 

 {Bull. Soc. mathém. de France) l'isothermie des surfaces d'Ossian Bonnet. 

 En 1 897, M. Halzidakis (Journ. de Crelle, t. 1 17) a exprimé leurs coordonnées 

 par des formules oii des fonctions arbitraires figurent sous les signes d'inté- 

 gration. 



» Je prouverai dans une prochaine Communication que les cinq classes 

 de surfaces considérées ci-dessus sont les seules surfaces isolhermiques qui 

 jouissent de la propriété relative au produit g'-ds- et je résoudrai en même 



