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temps un problème qui se rattache aux importantes recherches de M. D.ir- 

 boux sur les surfaces isothermiques {Comptes rendus, t. CKXVni). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une chisse d 'équations aux dérivées 

 partielles du second ordre. Note de M. J. Clairin, présentée par M. Appel! . 



« La détermination de toutes les équations aux dérivées partielles du 

 second ordre à deux variables indépendantes réductibles à des équations 

 linéaires par une transformation de Backlund semble difficile dans l'état 

 actuel de cette théorie : je me suis proposé d'étudier un cas particulier de 

 ce problème. 



» Une équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre admet 

 toutes les transformations infinitésimales de contact dont les fonctions ca- 

 ractéristiques sont (le la forme \z + cp(a;, y), ). représentant une constante 

 et ç(.r, k) une intégrale de l'équation considérée; les lettres x,y, z ont 

 leur signification ordinaire, comme les lettres p, q, r, s, t qui seront 

 employées plus loin. Il peut, dans certains cas, exister d'autres transfor- 

 mations infinitésimales de contact qui laissent invariante une équation 

 linéaire aux dérivées partielles du second ordre : Sophus Lie a déterminé 

 toutes les équations qui jouissent de celte propriété ('). D'après un 

 théorème général (-), on peut de chacune de ces équations déduire des 

 équations de Monge-Ampère à l'aide de transformations de Backlund de 

 deuxième espèce. 



» Les équations trouvées par Lie appartiennent à deux types différents : 

 je m'occuperai seulement dans celte Note de celles qui sont de la forme 



(i) s + Y{Y)q + z = o, 



réservant l'étude des autres pour une Note ultérieure. 

 » La transformation 



X ^ = q , y t ^^^ y* -"1 ^^ ^» 



p,{Yq + z)+p = o 

 fait correspondre à l'équation (i) l'équation 



.s ( [=. + '-r,Y(j,)][(y,-a;,)^, -/J,^,] 



i -Pn\T(Y,)+i\x,p,-Y{Y,)q,-z.,\=o. 



(') Arcliù' for Malhemalik og /VatttrvidensAab, t. VI, 1881, p. 828. 



(^) Annales de l'École Normale supérieure, 3" série, t. XI.V, 1902, Suppi., p. ao. 



