v 219 ) 



Quant à l'équation (3) (seconde généralisation), je n'ai 

 pu l'aborder qu'au moyen des intégrales définies. C'est 

 l'objet principal du § II. 



§ I er . — Transformations réciproques des équations 

 différentielles du premier et du second ordre. 



Il existe une transformation remarquable, habituelle- 

 ment nommée Transformation de Legendre (*), et qui a 

 été reproduite, avec une interprétation géométrique et 

 d'autres développements intéressants, par M. Orloff (**). 

 Elle consiste à remplacer, dans une équation différentielle 

 du premier ordre, les variables x, ?/, etp (||), par d'autres 

 variables X, Y et P j^|), choisies de telle manière que 



x = P 

 et 



y = PX - Y, 



ce qui entraîne la relation 



P = X. 



C'est ce que j'appellerai, en supprimant les grandes lettres, 

 la transformation de 



* > y, p, 

 respectivement, en 



p,px — y,x; 



(*) Mansion, Théorie des équations aux dérivées partielles du pre- 

 mier ordre, Paris, 1875 (ou Mémoires couronnés, etc., de l'Académie 

 royale de Belgique, in-8°, t. XXV), p. 42 (note au bas de la page). 



(**) Bulletin de l'Académie royale de Belgique, 2 e série, t. XXXI II, 

 1872, p. 113. 



