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Reimer, 1884, §§ 4045), quelques relations enlre les fonc- 

 tions elliptiques de trois et même de quatre arguments 

 quelconques. Parmi ces relations, on peut citer particu- 

 lièrement la suivante : 



— h'* snw snu snr sns -+- cnu cnu cnr cns 



i r 2 



— — dnu dnv dnr dus = 



où l'on suppose u -+- v ■+• r ■+■ s = Q. 



Cette relation a été retrouvée, en 1879, par M. Cayley (*) 

 qui en a donné une interprétation géométrique curieuse, 

 et, depuis lors, elle a été démontrée, de diverses manières, 

 par MM. H.-J.-S. Smith, J.-W.-L. Glaisher, Hermile 

 et H. Schroeter (**). Ces géomètres ont, en même temps, 

 signalé plusieurs relations analogues, plus ou moins sim- 

 ples, entre les fonctions sn, en, dn, les fonctions thêta, ou 

 les fonctions Al correspondantes. 



M. Cayley (***) a fait connaître aussi une formule qui est 

 la généralisation de la formule de Gudermann et qui n'a pas 

 attiré autant que celle-ci l'attention des géomètres. Cette 

 formule est la suivante : 



/' — k'* sn (a -t- (3) sn (a — (3) sn f y -+- ê) sn (y — S) 

 ^ -+- en (a -+- (3) en (* — (3) en (y ■+- <?) en (y — <?) 



5 i 



f — — dn(a -+- (3)dn(a — fi)dn(y -4- (?) dn (r — <?) 

 k'* 1k' (sn 2 a — sn 2 y) (sn 2 [3 — sn 2 <?) 



h 1 { i — Fsn 2 «sn 2 P) ( I — A 2 sn Vsn V) 



(*) A Theorem in Elliplic Functioiis(Pvocee(liny;s of the London Mathe- 

 maiical Society, t. X, pp. 43-48; janvier, 1879). 



(**) Smith, Ib. pp. 91-100; J -W.-L. Glaisher, Ib pp. 23 1 -233 - x Mes- 

 senger of Mathematics, 2 e série, t. X, pp. 129-130, 152-154; Hermite, 

 Acta mathemalica, t. I, pp. 368-370; H. Schroeter, Ib. t. V, pp. 205-207. 



(***) Loc. cit., p. 45. 



