( 335! ) 



OU 



27 2 = 25 2 h- 14- -+- 2*; 



comme ci-dessus. 



5. Considérons les solutions primitives, c'est-à-dire les 

 solutions dans lesquelles les nombres entiers x, y, z, u sont 

 premiers entre eux. Quand il en est ainsi, deux, au moins, 

 des nombres x, y, z sont premiers entre eux. Cela posé, 

 toutes les solutions primitives (") résultent de l'identité 



(a 2 -+- fc 2 -h c 2 -+- d l f = (a 2 -+- b 2 — c 2 — dj 

 -+- [Z(ac =fc 6</)] 2 h- [2(a<i qp ^)]* (3) 



•i. D'après l'identité (3) : Si u 2 es/ la somme de trois 

 carrés, u est, ordinairement, la somme de quatre carrés. 



5. De l'identité (3) on déduit, par une permutation 

 tournante : 



( a * _+_ 6* + c * _h d^ = (c 2 + 6 ! - a 2 — d 2 ) 2 

 -t- [2(ac ± bd)]* •+• [2{cd =p ab)J, (4) 



( « h- // -+- c 2 H- rff = (6 2 -4- rf 2 — ft* — C 2 ) 2 



-t- [2(crf ± ab)J -¥-. [2arf =p 6c)] (5) 



En conséquence : 



Dans une infinité de cas, un carré est décomposable, en 

 trois carrés, de six manières différentes (**). 



(*) Abstraction faite, peut-être, du facteur 2. Pour que l'on n'ait pas à 

 le supprimer, il suffit que a 2 -+- b 2 , c 2 -+- d 2 soient de parités contraires 



(**) Pour que ce nombre 6 ne soit pas réduit, les nombres a, b, c, d 

 doivent être inégaux; ils ne doivent pas appartenir à une progression 

 par quotient; etc. Les valeurs les plus simples, satisfaisant à ces condi- 

 tions, sont 



a = 5, 6=3, c=2, d=\; 



d'où résulte u = 39. 



