( 525 ) 



On a donc celle formule, peut-être nouvelle, et d'où 

 l'on en conclut d'autres : 



./ 



- [nX n + (n- I X„_,] £. — — = -(- 1 ». 

 x 2 n 



Ces quelques lignes suffiront, je l'espère, à prouver 

 que le jeune Auteur est au courant des parties les plus 

 délicates et les plus élevées de la théorie des intégrales et 

 des séries (*), et que son Mémoire est très digne d'être 

 publié dans le Recueil des Savants étrangers. » 



Rappot'l de SE. I*. .fititition. 



« Le mémoire de M. Deruyls est divisé en six para- 

 graphes dont les trois premiers contiennent des formules 

 générales relatives à certains développements en séries et 

 les trois derniers des applications de ces formules à des 

 cas particuliers. 



Dans le premier paragraphe, l'auteur considère deux 

 fonctions développées en série convergente : 



f (x) = A T„ (x) -+■ A t T,(a) + A 2 T 8 (xï -+- etc. 

 f[x) = A -+- A t x -+- AjX 2 -+- etc., 



l'une suivant des fonctions T„(x), l'autre suivant les puis- 

 sances de la variable, les coefficients étant les mêmes dans 

 les deux formules. 



S'il existe des fonctions <p{x), telles que 



f +„(x) T„(x) dx = \ , J } a (t) T H+k (x) dx = 0, 



(*) M. J. Deruyts, l'un de mes anciens meilleurs élevés, est membre de 

 la Sociélé des sciences de Liège. 



