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 on trouvera la valeur des coefficient A, par le procédé qui 

 a servi à Fourier, à Poisson et à d'autres pour déterminer 

 ceux des séries trigonomélriques et de séries plus géné- 

 rales. On obtient ainsi 



\ n =f f(x)* n (x)dx. 



Transportant cette valeur dans la série f{z) = A -+- 

 A," -+- A.,z 2 -i- etc., il vient 



fl«) =/%(*) y(*,*) «te, 



c 



si Ton pose 



s(z, x) = ■p [x) -+- z$ t [x) +■ z*i> t {x) ■+- ... 



Celle première formule de M. Deruyts, selon nous, n'est 

 pas suffisamment démontrée. En effet, deux fois, dans le 

 courant de ses raisonnements, la première fois pour déter- 

 miner A„, la seconde fois pour introduire i(z, x) sous le 

 signe d'intégration, il se sert du théorème : « On peut 

 intégrer une série convergente, terme à terme, comme un 

 polynôme ». Or, ce théorème n'est pas toujours vrai (*) et, 

 depuis qu'on l'a reconnu, on a dû remanier complètement 

 certaines parties de la théorie des séries trigonomé- 

 lriques, celles dont le travail soumis à la Classe est une 

 généralisation. 



(*) Exemple emprunté à M. Darboux : La série 1xe~** =«,+«,+ «, 

 -+- etc., où u„ = Inx e~ nxi — 2(n •+- \)x e ("+')**, esi convergente pour 

 toule valeur finie de x. Si on intègre les deux membres, en traitant le 

 second comme un polynôme, entre les limites et x, on arrive à celte 

 .relation absurde 1 — e~ zî = — e~ xï . 



