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Pour rendre son exposition irréprochable, M. Deruyts 

 doit donc, dès le début, ajouter aux hypothèses relatives 

 à l'existence des fonctions <px et à la convergence des 

 séries considérées, celle de l'intégrabililé de ces séries. 



Moyennant celte hypothèse supplémentaire, on peut 

 établir rigoureusement, d'abord la formule précédente, 

 puis la formule inverse 



,,* 



?x = / x(x, u) /[6(x, u)] du 



t 



T n x —J i(ar, u) [g{x, u)]" du , 



ù 



et la formule analogue à celle de Parseval (*) signalée par 

 M. Catalan; enfin, les résultats un peu moins généraux 

 du § III, où l'on suppose $ a (x) = a n }[x) T„(x). 



Mais si celte hypothèse supplémentaire de l'intégrabilité 

 des séries convergentes considérées est nécessaire pour la 

 démonstration des théorèmes fondamentaux des §§ I er 

 et III, il en résulte immédiatement que les résultats spé- 

 ciaux des §§ IV, V, VI ne sont pas suffisamment établis (*'). 

 Ils sont peut-être exacts, mais, pour qu'ils soient vraiment 

 démontrés, l'auteur devrait se livrer à une étude appro- 

 fondie de chacune des séries dont il s'occupe, pour voir si, 

 réellement, elles sont intégrables terme à terme comme 



(*) U y a une petite lacune dans l'énoncé du -.théorème relatif au mini- 

 mum d'une certaine intégrale que M. Deruyts déduit de celte formule. 

 Cette intégrale contient deux fonctions inconnues K„ et f„ et non une 

 seule F„. 



(**) Le § II contient l'extension des résultats du § 1 aux fonctions de 

 plusieurs variables. 



