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X. Quand un covarianl S est de la forme Q<\>, les 

 expressions irréductibles de S et de ses polaires con- 

 tiennent le même nombre de termes : c'est ce qui résulte 

 du dernier théorème, pour le cas de / = 1, Nous démon- 

 trerons la propriété réciproque: Si (es expressions irré- 

 ductibles du covariant S et de ses polaires comprennent 

 le même nombre de termes, S est de la forme Qt^. 



Tout covariant S est une somme de covariants iden- 

 tiques multipliés par des polaires de covariants primaires 

 ^\, ^% ...<\)t {'). Nous écrirons : 



S = a,^1 -t- û,^2 H -+- n,.;-(; ... (9) 



nous pouvons évidemment supposer qu'il n'existe aucune 

 relation du premier degré entre les fonctions ?[»1, '\)%...f^t, 

 et que les opérations ^1,^2 ••• û< sont linéairement indé- 

 pendantes pour <\f\, <\)% ...t\)t. Comme nous l'avons vu 

 (§ IX), le covariant S a pour expression irréductible : 



-t- ... -4- £ï,mti <f<, -+- ••• -+- i\mtr,. <ptrt 



Le multiplicateur 4^1 , est fonction linéaire des coeffi- 

 cients de S : par suite, (|;1 , est la source d'un covariant W 

 à n séries de variables, que Ton déduit de S au moyen 

 d'opérations polaires (§§ I et II). 



La fonction W est le produit du covariant ^\ par une 

 puissance du déterminant (± xiiX% ...xn„) : ainsi, W a 

 pour expression irréductible une somme de ri termes. 



(*) Voir les mémoires cités plus haut. 



