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Cet admirable ihéorème, longtemps laissé dans roubli, 

 a élédémonlré par M. Catalan, avec sa clarté ordinaire, 

 dans le BiUlelin des sciences mal/témaliques et nslrono- 

 viiques, 2* série, t. IV, 1" partie, pp. 77-82, en 1880; 

 puis, la même année, par JM. Fîadicke, dans la ISouvelle 

 Correspondance malhémalique, t. VI, pp. 503-507. Au 

 fond, la démonstration de M. Radicke ne diffère pas de 

 celle de M. Catalan. M. Éd. Lucas en a publié, à son tour, 

 une démonstration, en 1885, dans Mathesis, t. IM, 

 pp. 25-28 (*). 



La Note de M. E. Cesàro est une élude comparée rela- 

 tive à ces diverses démonstrations. En un certain sens, 

 elle en contient aussi une que j'appellerais nouvelle, si le 

 savant Géomètre italien n'avait pour but principal, dans 

 son travail, d'établir l'identité substantielfe des diverses 

 preuves dont je viens de faire l'énuméralion. 



Partant de l'identité symbolique 



(B -+- \)" — B"=p, (1) 



pour définir les nombres de Bernoulli, il en déduit, de 

 deux manières différentes, la relation connue 



1 "> n 



B(B -+- 1)(li -+- 2)...(B -+- n — i)---— ; . ('2) 



n ■+- 1 



puis aisément, par la théorie des équations linéaires, 



1.2.. .H L2 ..(«-1) 1.2...(/*-2) 1 



n-t-l n n—\ 2 



(*) Nous avons en portefeuille, depuis le mois de janvier, une 

 démonstration un peu difl'érente, qui nous a été envoyée par 

 M. Lucas, pour Mathesis. 



