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Sur les involutions cubiques conjuguées ; par Cl. Servais» 

 répétiteur à TUniversité de Gand. 



MM. Weyr el Le Paige ont fait connaître diverses rela- 

 tions intéressantes entre les éléments singuliers de deux 

 involutions cubiques conjuguées. Nous nous proposons de 

 démontrer géométriquement ces relations, el d'y ajouter 

 quelques résultats peut-être nouveaux. 



i. Étant donnés deux ternes d'une involution cubique 

 ayant pour support une conique C,, la conique inscrite 

 aux deux triangles formés par ces ternes est la conique 

 d'involulion. Les points de contact sur Cg des tangentes 

 communes à ces deux coniques, sont les points doubles de 

 l'involution, el les points d'intersection de ces mêmes 

 coniques sont les points de ramification. M. Le Paige, dans 

 son remarquable mémoire « Essais de géométrie supé- 

 rieure de troisième ordre (*) », a montré qu'il existait 

 deux involutions, ayant pour points doubles quatre points 

 donnés x^Xç^x^r^. Ces deux involutions sont dites conju- 

 guées. En appelant r^vç^r-r^, ^i'^î'^s'l '^s points de ramifica- 

 tion de ces involutions, ce géomètre fait voir que les deux 

 points ru el r\ sont sur une conique tangente à C2 au point 

 or,, et circonscrite au triangle V0V3V4 formé par les tan- 

 gentes aux points x^, x^, 0-4. C'est de cette propriété que 

 nous déduisons ce qui suit. 



2. Projetons la conique suivant un cercle, de façon que 

 les points doubles de la projectivité cyclique déterminée 



(*) Mémoires de la Société royale dex sciences de Lièyc, t. X, 

 2« série. 



