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doubles sonl x\x'.x-^Xi^, les points de ramificalion corres- 

 pondant à x\ sonl Ta et r^. 



De ce que la droite r^rl esl perpendiculaire à la droite 

 x^x^, il résulte que les droites i\r\, r^r\, x^x'^, x^x'i sont 

 parallèles entre elles; on paut donc dire : 



Si \' n et x'2 sont les conjugués harmoniques des points 

 X| et X2 par rapport aux points X3 et X4, les couples de 

 poi}tls 



X1X2, XoT), a'sl'i, ''lî'i 5 'V'2 



/ouf partie d'une même involution. 



6. Si l'on considère l'une des involuiions conjuguées, 

 sa conique d'involution a pour axe la perpendiculaire 

 abaissée du centre du cercle sur la droite r^r^j. Il suit de là 

 que si l'on appelle j/s et z^ les points du cer-cle situés sur 

 celle perpendiculaire, y, cl ij^, z^ etr,, les points qui com- 

 plèlenl les ternes de l'involiition, définis par 2/3 et sg, les 

 droites y^yn cl zyz^ sonl parallèles à rjTo, et par conséquent 

 les couples y\y<i, zyz<^ lont partie de l'involution x^x^, x^^x^. 



Donc : 



Parmi les couples de Vinvolution quadratique \\\<2, ^z^i 

 il y en a deux formes par des points correspondants de 

 Vinvolution cubique ; les deux points qui avec ces couples 

 fonnont deux ternes de cette involution, sont les points 

 doubles de rinvolutioii ^quadratique x^x^, X5X4. 



7. Soient P le poinl d'intersection des droites x^x^ et 

 r<^r\, a et [3 les angles Kx^r,' et Kx,?; ou aura 



XiV = Xir\ cos (a -H |3) = 2R sin a cos (jc -+- ^), 



R étant le rayon du cercle. 

 On a aussi 



X2P = R sin^; 

 donc 



sin [3 = 2 sin a cos (a -+- (3). 



