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13. Les deux triangles x^r.^x], oc^r^x'. élanl cquilalé- 

 raux, la conique de l'involulion délinie par ces deux ternes 

 de points sera un cercle concentrique au cercle C. Les 

 deux cercles ayant un double contact suivant la corde x^x^, 

 Tinvolution X2r.jXj,Xir,xi a deux points triples x^x^. 



5«r les démonstrations du théorème de Slaudt et Clausen; 

 par Ernest Cesàro. 



Les nombres de Bernoulli élanl déOnis par l'égalité 



symbolique 



(B-4-1)"— 0" = /;, (1) 



on sait que Bj„ est égal à un nombre entier, diminué de la 

 somme des inverses de tous les nombres premiers qui, 

 diminués de Vunité, divisent 2n. Ce curieux théorème, 

 découvert par Clausen et par Staudt, a été démontré fort 

 simplement par M. Catalan dans le tome IV (2^ série) du 

 Bulletin de Darboux, et par M. Lucas dans le tome III de 

 Mat/iesis. Ou verra plus loin que ces deux démonstrations 

 ne diffèrent pas essentiellement l'une de l'autre. Nous 

 allons d'abord montrer que, moyennant quelques légères 

 modifications, la démonstration de M. Lucas peut être 

 rendue incomparablement plus simple et surtout pins 

 élémentaire que toute autre démonstration connue. 

 Si l'on observe que 



X(x+l)(x-+-2)...(x-h«— l) = X"-^cr„_,,,X"-'+(T„_,,2X"-*H H(T„_,,„_,X, 



où <^„-i,p représente la somme des produits p à p des n — I 

 premiers nombres naturels, et si l'on pose 



s.. = 1 " -4- 2" -+- 5" -+- • • • -t- X", 



