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après avoir posé 





1 ... <X„_j_,,.3 <T„--.,p-i 



'-P.* 



C'est la formule (3) qui sert de point de départ à M. Lucas 

 pour la démonstration proprement dite du théorème de 

 Slaudt et Clausen ; mais nous verrons que la formule dont 

 se sert M. Catalan ne diffère de (5) qu'en apparence. 



Si l'on ne veut pas employer les déterminants, on peut 

 avoir recours à une proposition de calcul symbolique, dont 

 la démonstration n'offre pas de difficultés ("). On opère 

 l'inversion de la relation symbolique 



o„ = A (A -4- t\) (A -+- f^) ... (A -t- f„_,) 



(*) Celte proposition pourrait être démontrée en quelques lignes 

 par des considérations de calcul symbolique, ou bien en ayant 

 recours aux formules pour la dérivation des fonctions de fonctions. 

 En voici d'ailleurs une démonstration tout à fait élémentaire. Posons 



F«(3:) = (l -+-îix)(l -+-£ja-)...(i -\-£„x) = \ -+-(T„, ,a:-4-c7,,îa;'H 



Évidemment 



1 



fn (^) 



= I — r„, lO; -+- T«, «x- — T„, 3X' -1- 



Si Ton exprime que le coefficient de x'''^' dans le développement 



