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bres entiers, égaux ou inégaux, non supérieurs à p. On 

 retrouve ainsi la formule (3), et l'on obtient, en même 

 temps, l'interprétation des déterminants A. 



il est vrai que c'est sur les propriétés de ces détermi- 

 nants que repose une partie de la démonstration de 

 M. Lucas; mais il est aisé d'établir les propriétés des nom- 

 bres T sans employer leur expression sous forme de déter- 

 minants, et sans même s'éloigner du mode de démonstra- 

 tion adopté par M. Lucas. On a, en vertu du théorème de 

 Fermât, la congruence identique 



{x — \){x — '■2)...[x — p -*- i) ^xP-^ — i 



par rapport au module premier p. On en déduit sans 

 peine (*) que le développement. 



(x — 'I)(x — 2)...[x — /?-+-!) x''"* 



■-) --t-... (o) 



,;'+• 



(') Soient 



f(z)z=\ -f- f/jS -h o^z- -+-•••, é{z)= i -h biZ -*- b^z'^ -i- ■ ' 



deux séries de puissances, à coefficients entiers. Si les coefficients 

 de cf — 4' ^^"^ divisibles par p, il en sera évidemment do même des 

 coefficients de la série qu'on obtient en divisant cp — 4^ par 



? iz)ô{z) = \^ C,Z -h c,z' -}-■■■ 



On aura donc aussi 



?-'P 1 1 



= = 0. (mod. fj). 



En d'autres termes, si l'on pose 



1 1 



