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 on peut dire qu'une telle identité définit une involution 

 du n"'" ordre et de la m™^ classe. 



Parmi ces involutions , M. Le Paige s'est arrêté davan- 

 tage à celles de la S""'" classe. Ce sont en effet les seules 

 qui aient été étudiées jusqu'ici, et appliquées à la géomé- 

 trie, sauf les théorèmes qu'il a donnés sur les polaires, et 

 ceux qu'il a communiqués en dernier lieu à l'Académie. 



Il a rappelé, en les démontrant par sa méthode, les pro- 

 priétés analogues à celles du point central, dans l'involu- 

 tion du second ordre; il a, de même, étudié les propriétés 

 des points multiples d'ordre n dans les involutions de 

 (n-i-1) n points, et démontré, par deux méthodes, que les 

 points 'if'"' sont des points harmoniques de n'"'' ordre de 

 chaque groupe de n points appartenante l'involution. 



On se trouve ainsi ramené à l'étude des points harmo- 

 niques. 



m. On peut mettre la relation d'harmonie sous diffé- 

 rentes formes, c'est ce que l'auteur a fait. 



Il a, dans ce chapitre, reproduit les applications analy- 

 tiques et géométriques, données dans une note antérieure ; 

 il a, de plus, commencé une élude plus approfondie du 

 rapport anharmonique du troisième ordre. 



On sait que MM. Cayley et Clebsch ont rattaché le rap- 

 port anharmonique du second ordre aux invariants I et J 

 d'une quarlique binaire. 



Sans résoudre la même question d'une manière complète 

 pour la forme sextique M. Le Paige a eu le courage de 

 l'aborder, et d'en poursuivre assez loin l'étude. 



Une sextique binaire a quatre invariants fondamentaux 

 A, B, C, D, respectivement du second ordre, du quatrième, 

 du sixième et du dixième, et un invariant gauche du quin- 

 zième ordre, E, dont le carré et une fonction rationnelle 

 des quatre antres. 



