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D'après cette relation, si le nombre N n'est pas divisible 

 par 5, la période P sera nécessairement divisible par 9; 

 dans ce cas, nommant Q le quotient de P par 9, on déduit 

 de l'égalité ci-dessus : 



H1. ... = NQ, [a] 



et l'on voit que Q est le facteur qu'il s'agissait d'obtenir; 

 en le prenant soit seul, soit multiplié par 2 ou par 5 ou 

 par 4 etc., on n'aura évidemment pour chiffres au pro- 

 duit , que des 1 ou des 2 ou des 5 ou des 4 etc. 



Dans le cas où N serait un multiple de 5 ou de 9, et où 

 conséquemment P pourrait ne pas être divisible par 9 , il 

 est clair qu'on n'aura qu'à prendre la réunion de trois ou 

 de neuf périodes, de manière que l'ensemble soit divisible 

 par 9. 



L'objet de la Note actuelle est de faire connaître une 

 suite de conséquences de la proposition ci-dessus, consé- 

 quences qui me paraissent également curieuses. Les voici : 



1° Q étant un nombre entier, la relation [a] montre 



que le premier membre 1 H est divisible par N; 



et comme on a aussi 



222.. ..=N X 2Q, 

 555....=:N X oQ, 

 etc., 



on en déduit celte autre proposition : 



Si l'on prend pour dividende un nombre formé de la 

 répétition, en quantité indéterminée , d\in même chiffre 

 quelconque, et pour diviseur un nombre impair quelconque 

 non terminé par un 5, la division s'achèvera nécessai- 

 rement, et Von aura un quotient exact, avec un dividende 

 limité. 



