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Comme ce quotient est précisément le fiicteur par le- 

 quel il faut multiplier le nombre donné N pour avoir un 

 produit formé de la répétition d'un môme chiffre, on voit 

 que la division dont il s'agit fournit ce facteur par un pro- 

 cédé plus simple que celui des fractions périodiques. 



2° Si 1 on consent à n'être plus entièrement libre de 

 choisir le chiffre dont on veut avoir la répétition au pro- 

 duit, des nombres pairs et des nombres terminés par un 5 

 satisferont encore au problème; les seuls nombres qu'il 

 faille exclure, sont d'abord ceux terminés par un zéro, puis 

 les autres nombres pairs contenant plus de trois facteurs 2, 

 enfin ceux des nombres terminés par un 5 qui contiennent 

 plus d'un facteur 5. 



Supposons, en effet, que le nombre N soit pair, non ter- 

 miné par un zéro, et ne contienne qu'un seul facteur 2, 

 de sorte que si l'on écrit N = 2 N', le nombre N' satisfera 

 aux conditions de la première proposition; on aura donc : 



in .... = N'Q, 



d'où 



222 .... = 2N'Q = NQ , 

 444 .... = 4N'Q = 2N' X 2Q = N X 2Q, 

 666.... = 6N'Q = 2N'X ôQ = N X 5Q, 

 888.... = 8N'Q = 2N' X 4Q = N X 4Q; 



on pourra conséquemment, dans ce cas, choisir arbitraire- 

 ment l'un quelconque des chiffres pairs. Si, par exemple, 

 on prend pour N le nombre 42, la division de la suite in- 

 déterminée 222 par ce nombre fournira pour 



quotient le second facteur; on sera conduit ainsi au pro- 

 duit 



42 X 8291 = 222222 , 



et en doublant, triplant et quadruplant le second facteur, 



