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 que l'équation linéaire (1) a une intégrale de la forme 



?/=C,?/,-4-C2?/2H hC„?/„, . . . .(3) 



C|, Cav-jC,, étant des constantes arbitraires, y,, y^,....,y„ 

 des solutions particulières, distinctes, de l'équation (1). 



Les équations linéaires jouissent des propriétés expri- 

 mées par les équations (2) et (5). Réciproquement : 1° les 

 équations ayant une intégrale de la forme (5) sont linéaires 

 et peuvent prendre la forme (2); 2° celles qui peuvent 

 prendre la forme (2) ont une intégrale de la forme (3) et 

 sont linéaires. Les propriétés exprimées par les équa- 

 tions (2) et (5) sont donc équivalentes et caractéristiques 

 pour les équations linéaires. En particulier, la propriété (2), 

 qui montre la constitution intime du premier membre de 

 l'équation (1), peut être appelée la propriété fondamentale 

 des équations linéaires. 



Cette propriété fondamentale a été découverte par Bris- 

 soN, dans le cas où les coefficients A sont constants (*). 

 Nous en avons donné une démonstration , pour le cas où 

 ils sont variables, dans le tome XXII des Mémoires cou- 

 ronnés et autres Mémoires de l'Académie (**). Dans la 

 présente note, nous nous proposons de rendre cette dé- 

 monstration plus précise et plus complète; ensuite, de 

 faire connaître une seconde démonstration de la propriété 

 en question, plus directe que la première, mais exigeant 

 aussi des calculs beaucoup plus compliqués. 



(*) Cai'chy, Sur r analogie des puissances et des différences (Exer- 

 cices de mathématiques, t. II, pp. 139-209). 



(**) Note sur la première méthode de Brisson pour l'intégration 

 des équations linéaires aux différences finies ou infiniment petites. 

 30 p. in-S". 



