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II 



Démonstration indirecte. 



4. Équation auxiliaire. Considérons, pour plus de sim- 

 plicité, une équation du troisième ordre, 



J)^y-^A,D'y-i-k,J)ij + Azy =0. . . .(4) 



Posons 

 D'y^-Â,D^i/-t-Â,Dt/-+-A,2/=(D^+B.D+B,)(D-a)2/, . (S) 



Bi, Ba, a étant des fonctions de x à déterminer. On devra 



avoir 



B,= A,-v-a, (o) 



B2 = A2-+-Bja-H2a', (7) 



= A5 -+- B^a -+- B,a' -4- a" . . . • (8) 



En éliminant Bi et B2 entre ces trois équations , on 

 trouve, pour déterminer a, l'équation différentielle du se- 

 cond ordre : 



a" H-a'(A,-f-5a)-+- a' -4- A.oV A.a -t-A3=0 . . (8') 



L'intégrale générale de cette équation auxiliaire aura 

 la forme 



0= f{x, Ci, Ci), ' v^) 



c„ C2 étant des constantes arbitraires. Celte intégrale étant 

 connue, on pourra déterminer les coefficients Bj et B2, 

 qui contiendront, par conséquent, chacun, deux con- 

 stantes arbitraires. 



2. Intégration effective de l'équation auxiliaire. On par- 

 vient à trouver effectivement l'intégrale (9), au moyen d'un 

 artifice de calcul très-singulier. 



