( m ) 



donc miiliiplianl ces deux dernières égalités, ou oijliendra : 



sinOCDsiiiOCE = \/ 



(.s — a) [s — /;) 



ce qui est la valeur connue de 



C 

 siii - C. Q. r. I). 



Corollaire I. J'abaisse OF perpendiculaire à CD, et OG 

 perpendiculaire à Cli, je tire FC ; je dis que cette droite 

 FG est tangente au cercle inscrit dans le triangle ABC. 



En effet, à cause de la circonférence dont OC est le dia- 

 mètre, on auia OGF = OCE; on a donc OF = OC sia 

 OCD, puis la hauteur OH = OF sin OFG = OC sin OCD 

 sin OCG; d'autre |)arl 01 = OC sin ,^. 



Corollaire \\\. Si, du point comme centre, avec OG 

 comme rayon, on décrit une circonférence qui rencontre 

 respectivement AC et BCaux points K et I., les angles COK 

 et COL sont égaux à BCD. 



En ctlet, si COK = BCD, les triangles OIE et OCK 

 seront semblables comme ayant les angles égaux; donc on 

 aura OF -t- OK = OI + OC; d'autre part le lemme donne 

 OF + OG = 01 ^ OC; donc enfin OK = OG,etc. 



Théorème : Le problème de Malfatti étant résolu pour 

 le triangle abc\ a. étant le centre du cercle inscrit dans ce 

 triangle; la tangente commune aux cercles inscrits dans les 

 ansfles rt et h, est aussi commune aux cercles inscrits dans 

 les triangles y.ca et ac6 (ibéorème découvert par Sleiner). 



Remarquons d'abord que si les points w, n elp (fig. 4), 

 qui doivent d'ailleurs se trouver sur les bissectrices des 

 angles du triangle ahc, étaient connus, ce dernier triangle 



